7 hằng đẳng thức lớp 8
7 hằng đẳng thức lớp 8 đáng nhớ bao gồm:
1. ( A + B )² = A² + 2AB + B²
2. ( A – B )² = A² – 2AB + B²
3. A² – B² = ( A – B )( A + B )
4. ( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
5. ( A – B )³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
6. A³ + B³ = ( A + B )( A² – AB + B² )
7. A³ – B³ = ( A – B )( A² + AB + B² )
7 Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của một tổng được tính bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó đem cộng với bình phương của số thứ hai.
(a+b)² = a² + 2ab +b²
Chẳng hạn: Tính
a) (x + 1)³.
b) (2x + y)³.
Lời giải
a) (x + 1)³
= x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³
= x³ + 3x² + 3x + 1.
b) (2x + y)³
= (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³
= 8x³ + 3.4x².y + 6xy² + y³
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³.
Bình phương của một hiệu được tính bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó đem cộng với bình phương của số thứ hai.
(a-b)² = a² – 2ab +b²
Công thức tính bình phương của một hiệu
Chẳng hạn: Tính (5x-y)²
(5x-y)² = (5x)² – 2.5x.y + (y)² = 25x² -10xy + y²
Hiệu của hai bình phương của hai số bất kỳ tính bằng hiệu của hai số đó nhân với tổng của hai số đó.
a² – b² = (a – b)(a +b)
Ví dụ: m² – 4 = m² – 2² = (m – 2)(m + 2)
(2a – b)(2a + b) = (2a)² – b² = 4a² – b²
Ví dụ 2: Khai triển các hằng đẳng thức dưới đây:
a. (xy -1)²
b.(a-4)(a+4)
Lời giải
a) (xy – 1)² = (xy)² – 2xy.1 + 1² = x²y² – 2xy + 1.
b) (a – 4)(a + 4) = a² – 4² = a² – 16.
Lập phương của một tổng của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, sau đó cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, tiếp cộng với lập phương của số thứ hai.
( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
Ví dụ: Tính:
a) (2x² + 3y)³
b) (½x−3)³.
Lời giải
a) (2x² + 3y)³ = (2x²)³ + 3.(2x²)².3y + 3.2x².(3y)² + (3y)³
= 8x^6+ 3.4x^4.3y + 3.2x².9y² + 27y³
= 8x^6 + 36x^4y + 54x²y² + 27y³
b) (1/2x−3)³= (1/2x)³-3.(1/2x)².3+3.(1/2x).3²-3³
=1/8x³- 9/4x²+ 27/2x- 27
Lập phương của một hiệu của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi trừ đi lập phương của số thứ hai.
( A – B )³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
Ví dụ 1: Viết các biểu thức áp dụng hằng đẳng thức:
8 – 12x + 6x² – x³ = 2³ – 3.2².x + 3.2.x² – x³ = (2 – x)³
Ví dụ 2: Tính (2x – 3y)³
Lời giải:
(2x – 3y)³ = (2x)³ – 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² – (3y)³ = 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³
6. Tổng của hai lập phương
Tổng của hai lập phương tính bằng tổng của hai số đó, rồi đem nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất với số thứ hai.
A³ + B³ = ( A + B )( A² – AB + B² )
Chẳng hạn: x³ + 4³ = (x + 4)(x² – 4x + 4²) = (x + 4)(x² – 4x + 16)
Hiệu của hai lập phương sẽ được tính bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, rồi đem nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất với số thứ hai.
A³ – B³ = ( A – B )( A² + AB + B² )
Ví dụ 1: Cho biểu thức (3x – 4)(9x² + 12x + 16), viết dưới dạng hiệu hai lập phương
Ta có:
(3x – 4)(9x² + 12x + 16)
= (3x – 4)((3x)² + 3x.4 + 4²)
= (3x)³ – 4³
Hằng đẳng thức đáng nhớ của hàm bậc 2
(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC
(A + B − C)² = A² + B² + C² + 2AB − 2AC − 2BC
(A − B − C)² = A² + B² + C² − 2AB − 2AC + 2BC
Hằng đẳng thức đáng nhớ của hàm bậc 3
A³ + B³ = (A + B)³ – 3AB(A + B)
A³ – B³ = (A – B)³+ 3AB(A – B)
(A + B +C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A +B)(A + C)(B + C)
A³ + B³ + A³ − 3ABC = (A + B + C)(A² + B² + C² − AB − BC − CA)
(A – B)³+(B – C)³+(C – A)³ = 3(A – B)(B – C)(C – A)
(A + B)(B + C )(C + A) – 8ABC = A(B – C)² + B(C – A)² + C(A – B)²
(A + B)(B + C)(C + A) = (A + B + c)(AB + BC + CA) − ABC
(A + B)(B + C)(C + A) – 8ABC= A(B – C)² + B(C – A)² + C(A – B)²
(A + B)(B + C)(C + A) = (A + B + C)(AB + BC + CA) – ABC
Hằng đẳng thức dạng tổng quát
a^n+b^n=(a+b)(a^(n−1)−a^(n−2)b+a^(n−3)b2−a^(n−4)b3+…+a2b(n−3)−a.b(n−2)+b(n−1)
Với n là số lẻ thuộc tập N
a^n–b^n=(a–b)(a^n–1+a^n–2b+a^n–3b2+…+a2b^n–3+ab^n–2+b^n–1)
Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức áp dụng 7 hằng đẳng thức lớp 8
Cách giải: Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau : A = x² – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
– Ta có : A = x² – 4x + 4 = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²
– Tại x = -1 , tương ứng: A = ((-1) – 2)² = (-3)²= 9
Vậy tại x = -1 thì A = 9
Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:
a, 4x² + 4x + 1
b, x² – 8x + 16
Lời giải
a, 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = (2x + 1)²
b, x²– 8x + 16= x² – 2.x.4 + 4² = (x – 4)²
Các dạng bài tập áp dụng hằng đẳng thức
Dạng 2 : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số
Phương pháp:
Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)
Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi tiến hành rút gọn.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức dưới đây không phụ thuộc vào x:
A = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)
Lời giải.
Ta có: A =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x = 4 là hằng số. Do đó, biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta phải:
Chứng minh A ≥ k với k là 1 hằng số
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra khi và chỉ khi giá trị nào đó của biến
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x² – 2x + 5
Lời giải:
Ta có : A = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4
Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2² + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 tương ứng x = 1
Vậy GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
Dạng 4 : Tìm ra giá trị lớn nhất của biểu thức
Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta phải:
Chứng minh A ≤ k với k là 1 hằng số
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến số.
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 4x – x²
Lời giải:
Ta có : A = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 – 4x + x²) = 4 – (x² – 4x + 4) = 4 – (x – 2)²
Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)² ≤ 4 [cộng cả 2 vế với 4]
⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 tương ứng x = 2
Vậy GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Dạng 5 : Chứng minh các đẳng thức bằng nhau
Phương pháp giải: Thực hiện phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức hay nhân đa thức với đa thức với đa thức. Ta biến đổi như sau:
Cách 1: Biến đổi Vế trái và chứng minh bằng vế phải
Cách 2: Biến đổi Vế phải và chứng minh bằng vế trái
Cách 3: Biến đổi Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.
Chẳng hạn: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
Lời giải:
Ta có: Vế trái = (a + b)³ – (a – b)³
= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³
= 6a²b + 2b³
= 2b(3a² + b²) = Vế phải (đpcm).
⇒ Như vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức về dưới dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về là 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức rằng: (a+b)² ≥ 4ab
Lời giải
Giả sử (a+b)² < 4ab
⇒ a² + 2ab + b² < 4ab
⇒ a² + 2ab + b² – 4ab < 0
⇒ (a-b)² < 0
Điều này là vô lý với mọi số a và b
Vậy điều giả sử là sai suy ra điều phải chứng minh là đúng.
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử chung
Phương pháp giải:
Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, Khi đó ta có thể đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện ra nhân tử chung, ta cần phải thực hiện đổi dấu các hạng tử trong ngoặc.
( áp dụng tính chất: A = -(-A)).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x² – 4x + 4 – y²
Lời giải:
Ta có : A = x² – 4x + 4 – y²
= (x² – 4x + 4) – y²
= (x – 2)² – y²
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Tương tứng A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Dạng 8: Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị thỏa mãn với đẳng thức, bất đẳng thức
Cách giải:
a) Tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức A < m (hoặc A > m hoặc A ≥ m; A ≤ m)
Tìm đkxđ
Rút gọn biểu thức (nếu có)
Biến đổi điều kiện về A < m để tìm ra x.
Lưu ý: Khi nhân (chia) cả 2 vế của BPT với một biểu thức dương thì chiều của Bất đẳng thức không đổi.
b) Tìm điều kiện của biến số x để hàm số đạt GTLN, GTNN.
Tìm đkxđ
Rút gọn biểu thức (nếu cần thiết).
Áp dụng các bất đẳng thức để đánh giá biểu thức ≤ k (tìm GTLN) hoặc ≥ k (tìm ra GTNN) (k là hằng số)
Tìm x để dấu = xảy ra khi nào.
Lưu ý: Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si: a² + b² ≥ 2ab
A² ≥ 0 với mọi A
Ví dụ: Tìm giá trị của x biết: x²( x – 3) – 4x + 12 = 0
Lời giải.
x² (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x² .(x – 3) – 4.(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x² – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm của phương trình là: x = {3; 2; –2}
Trên đây là các công thức và các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức lớp 8. Hãy ôn tập và làm bài tập thường xuyên để áp dụng công thức một cách thành thạo nhé!